Про­ведём вы­со­ту AH в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах MH пер­пен­ди­ку­ляр­но BC, а угол AMH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла плос­ко­стей ABC и MBC. Тогда по усло­вию угол MHA равен 60°. От­ре­зок так как тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний. Ги­по­те­ну­за пря­мо­гуль­но­го тре­уголь­ни­ка MH в два раза боль­ше от­рез­ка AH, так как он лежит про­тив угла 30°. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке MAH най­дем боль­ший катет: В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MAB найдём тан­генс угла MBA:

Ответ:

Угол MBA  — угол, об­ра­зо­ван­ный сто­ро­ной MB и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, а зна­чит, Тогда В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC про­ведём вы­со­ту AH, ко­то­рая рав­ня­ет­ся Угол AHM  — дву­гран­ный угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стя­ми ABC и MBC, найдём его тан­генс:

Тогда угол AMH  =  30°

Ответ: 30°.

Пусть точка O  — про­ек­ция вер­ши­ны M на плос­кость ABCD. Пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек O и M на каж­дое из ребер ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­да­ют в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Рас­смот­рим тре­уголь­ник MOT, где T  — любая из этих точек, тогда угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью ос­но­ва­ния это угол MTO. Сле­до­ва­тель­но, все эти пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по об­ще­му ка­те­ту MO и остро­му углу, по­это­му вто­рые их ка­те­ты тоже равны. Итак, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тра­пе­ции и по­это­му яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в неё окруж­но­сти.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр CH к ос­но­ва­нию AD тра­пе­ции. Тогда BCHA  — пря­мо­уголь­ник, и Обо­зна­чим тогда, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем

По­сколь­ку ABCD  — опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Зна­чит, Решим это урав­не­ние:

По­сколь­ку рас­сто­я­ния от O до ос­но­ва­ний тра­пе­ции равны, они равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть 2.

В тре­уголь­ни­ке MOT те­перь на­хо­дим

Это вы­со­та пи­ра­ми­ды. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Окон­ча­тель­но, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 9.

Пусть точка O  — про­ек­ция вер­ши­ны T на плос­кость ABCD. Пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек O и T на каж­дое из ребер ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­да­ют в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Рас­смот­рим тре­уголь­ник MOT, где M  — любая из этих точек. тогда угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью ос­но­ва­ния это угол Сле­до­ва­тель­но, все эти пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по об­ще­му ка­те­ту TO и остро­му углу, по­это­му вто­рые их ка­те­ты тоже равны. Итак, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тра­пе­ции и по­это­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK к ос­но­ва­нию AD тра­пе­ции. Тогда BCKH  — пря­мо­уголь­ник, а по­сколь­ку то

Обо­зна­чим тогда

По­сколь­ку ABCD  — опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Зна­чит, Решим это урав­не­ние. По­лу­чим:

По­сколь­ку рас­сто­я­ния от O до ос­но­ва­ний тра­пе­ции равны, они равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть 1.

В тре­уголь­ни­ке MOT те­перь на­хо­дим

Это вы­со­та пи­ра­ми­ды. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Окон­ча­тель­но, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 8.

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и AD  =  AB, тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Пусть вер­ши­ны A и B пря­мо­уголь­ни­ка ABCD лежат в плос­ко­сти α, а про­ек­ци­я­ми вер­шин C и D на эту плос­кость яв­ля­ют­ся точки H и K со­от­вет­ствен­но. Тогда про­ек­ци­ей пря­мой AC на α будет пря­мая CH, от­ку­да и, сле­до­ва­тель­но,

Далее, BC пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах HB тоже пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, от­ку­да

На­ко­нец,

Ответ:

Пусть вер­ши­ны A и B пря­мо­уголь­ни­ка ABCD лежат в плос­ко­сти α, а про­ек­ци­я­ми вер­шин C и D на эту плос­кость яв­ля­ют­ся точки H и K со­от­вет­ствен­но. Тогда про­ек­ци­ей пря­мой AC на будет пря­мая CH, от­ку­да и, сле­до­ва­тель­но,

Далее, BC пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах HB тоже пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, от­ку­да

На­ко­нец,

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объем ко­ну­са равен:

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объём ко­ну­са равен:

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды c вер­ши­ной S. Рас­смот­рим все тре­уголь­ни­ки с ка­те­том SO и ги­по­те­ну­зой  — одной из апо­фем гра­ней. Все они равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му и вто­рой катет у них оди­на­ко­вый. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах этот вто­рой катет, яв­ля­ю­щий­ся про­ек­ци­ей ги­по­те­ну­зы на плос­кость ос­но­ва­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен со­от­вет­ству­ю­ще­му ребру ос­но­ва­ния, по­это­му точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ос­но­ва­ния. Зна­чит, она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. По­это­му суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тра­пе­ции равны, сле­до­ва­тель­но, ее бо­ко­вая сто­ро­на равна

Про­ве­дем в тра­пе­ции ABCD вы­со­ты BH и CK. Тогда

по­это­му

Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру ее впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр сферы, N  — точка ее ка­са­ния с плос­ко­стью грани SBC, ле­жа­щая, на апо­фе­ме SM. По­сколь­ку точка T лежит на бис­сек­три­се угла SMO и, cле­до­ва­тель­но, делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии

Далее,

На­ко­нец, пло­щадь сферы равна:

Ответ:

Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды c вер­ши­ной S. Рас­смот­рим все тре­уголь­ни­ки с ка­те­том SO и ги­по­те­ну­зой  — одной из апо­фем гра­ней. Все они равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му и вто­рой катет у них оди­на­ко­вый. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах этот вто­рой катет, яв­ля­ю­щий­ся про­ек­ци­ей ги­по­те­ну­зы на плос­кость ос­но­ва­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен со­от­вет­ству­ю­ще­му ребру ос­но­ва­ния, по­это­му точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ос­но­ва­ния. Зна­чит, она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. По­это­му суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тра­пе­ции равны, сле­до­ва­тель­но, ее бо­ко­вая сто­ро­на равна

Про­ве­дем в тра­пе­ции ABCD вы­со­ты BH и CK. Тогда

по­это­му

Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру ее впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр сферы, N  — точка ее ка­са­ния с плос­ко­стью грани SBC, ле­жа­щая, на апо­фе­ме SM. По­сколь­ку точка T лежит на бис­сек­три­се угла SMO и, cле­до­ва­тель­но, делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии

Далее,

На­ко­нец, пло­щадь сферы равна:

Ответ: